Giải bất phương trình:
\(a,\log_{0,1},1\left(x^2+x-2\right)>\log_{0,1}\left(x+3\right)\)
\(b,\log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2\log_3\left(2-x\right)\ge0\)
Giải bất phương trình:
\(a,\log_{0,1},1\left(x^2+x-2\right)>\log_{0,1}\left(x+3\right)\)
\(b,\log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2\log_3\left(2-x\right)\ge0\)
a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho
\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)
b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)
Bất phương trình tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
Giải các bất phương trình :
a) \(2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\ge448\)
b) \(\left(0,4\right)^x-\left(2,5\right)^{x+1}>1,5\)
c) \(\log_3\left[\log_{\dfrac{1}{2}}\left(x^2-1\right)\right]< 1\)
d) \(\log^2_{0,2}x-5\log_{0,2}x< -6\)
Cho phương trình \(log_2\left(-x^2+4x+m\right)\)+\(log_{\dfrac{1}{2}}\left(x^2+2\right)\)< \(log_23\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho bất phương trình đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc [1;5]
ĐKXĐ: \(-x^2+4x+m>0\)
\(log_2\left(-x^2+4x+m\right)-log_2\left(x^2+2\right)< log_23\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}\right)< log_23\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}< 3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+4x+m>0\\-x^2+4x+m< 3x^2+6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>x^2-4x\\m< 4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\in\left[1;5\right]\)
Xét hai hàm \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x^2-4x\\g\left(x\right)=4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) trên \(\left[1;5\right]\) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)_{max}=f\left(5\right)=5\\g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow5\le m\le6\)
Có 2 giá trị nguyên của m
Giải bất phương trình :
\(\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)-\log_22^x\)
\(\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)-\log_22^x\)
\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)+\log_{\frac{1}{2}}2^x\)
\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{2x+1}-3^x\right)\)
\(\Leftrightarrow4^x+4\le2^{2x+1}-3.2^x\)
\(\Leftrightarrow4^x-3.2^x-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2^x\le-1\left(L\right)\\2^x\ge4\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x\ge2\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S=\left(2;+\infty\right)\)
Giải các bất phương trình lôgarit sau :
a) \(\dfrac{\ln x+2}{\ln x-1}< 0\)
b) \(\log^2_{0,2}x-\log_{0,2}x-6\le0\)
c) \(\log\left(x^2-x-2\right)< 2\log\left(3-x\right)\)
d) \(\ln\left|x-2\right|+\ln\left|x+4\right|\le3\ln2\)
Xác định m để hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt
\(\begin{cases}\log_{\sqrt{3}}\left(x+1\right)-\log_{\sqrt{3}}\left(x-1\right)>\log_34\left(1\right)\\\log_2\left(x^2-2x+5\right)-m\log_{x^2-2x+5}2=5\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
y' | + 0 - |
y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
Giải các bất phương trình sau :
a) \(\left(0,5\right)^{\dfrac{1}{x}}\ge0,0625\)
b) \(\log_{0,2}\left(x^2-4\right)\ge-1\)
c) \(\log_2\log_{0,5}\left(2^x-\dfrac{15}{16}\right)\le2\)
d) \(\log_3\left(16^x-2.12^x\right)\le2x+1\)
Cho bất phương trình 2x+y>3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm
C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm
D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
Bất phương trình 2x+y > 3 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn và có vô số nghiệm.
Chọn C.
Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x + 5 ) + log 1 2 ( 3 - x ) ≥ 0 và S2 là tập nghiệm của bất phương trình log2(x + 1) ≥ 1. Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. S 1 ∩ S 2 = [ 1 ; 3 )
B. S 1 ∩ S 2 = [ - 1 ; 3 )
C. S 1 ∩ S 2 = - 1 ; 1
D. S 1 ∩ S 2 = 1 ; 3
Bất phương trình logarit
$$1) \sqrt{log_{1/2}^{2} \frac{2x}{4-x} - 4} \leq \sqrt{5}$$
$$2)log_{2}(x-1)^{2} > 2log_{2} (x^{3} +x +1)$$
$$3)\frac{1}{log_{2}(4x)^{2} +3 } + \frac{1}{log_{4} 16x^{3}-2} <-1$$
$$4)log_{2} (4^{x}+4) < log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} -2)$$